Коды

Сложность кодового замка определяется числом возможных комбинаций

Рассмотрим кодовый замок. Сколько всевозможных комбинаций кода можно ввести?

Количество комбинаций зависит от числа позиций и от того, сколько вариантов может принимать каждая позиция.

Если каждая позиция может принимать 26 значений и таких позиций 5, то по правилу произведения получаем:

\[ 26 \times 26 \times 26 \times 26 \times 26 = 26^5 \]

Пусть дан алфавит из \(n\) символов. Слово длины \(k\) — это последовательность из \(k\) символов этого алфавита.

Тогда число всех слов длины \(k\) равно

\[ \textcolor{royalblue}{\underbrace{\color{black}{n \times n \times n \times \cdots \times n}}_{\color{royalblue}{k\ \text{множителей}}}} = n^k \]

Задача:

Формат номера: 1 буква, 3 цифры, 2 буквы и код региона

Российский автомобильный номер имеет формат, как на схеме: 1 буква, затем 3 цифры, затем 2 буквы и код региона. Считаем, что код региона выбирается из фиксированного официального списка. Берем 97 вариантов кода региона. Сколько таких номеров можно составить, если для букв доступно 12 вариантов, для цифр — 10?

---

Решение:

Разберем по частям:

1. Первая буква серии: \(12\) вариантов.
2. Три цифры номера: \(10 \times 10 \times 10 = 10^3\) вариантов.
3. Две последние буквы серии: \(12 \times 12 = 12^2\) вариантов.
4. Код региона: \(97\) фиксированных вариантов.

Все части выбираются независимо, поэтому перемножаем:

\[ 12 \times 10^3 \times 12^2 \times 97 = 12^3 \times 10^3 \times 97 = 167\,616\,000 \]

Ответ: \(167\,616\,000\).

Задача:

Пароль имеет длину от 3 до 5 символов и составляется из алфавита \(\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\). Сколько разных паролей можно составить?

---

Решение:

В алфавите 8 символов.

Для длины 3: \(8^3\). Для длины 4: \(8^4\). Для длины 5: \(8^5\).

Складываем случаи:

\[ 8^3 + 8^4 + 8^5 = 512 + 4096 + 32768 = 37\,376 \]

Ответ: \(37\,376\).