Факториал

Когда мы считаем число способов, как объекты можно выбирать или упорядочивать, часто появляются произведения подряд идущих целых чисел, например \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\) или \(11 \times 10 \times 9 \times 8\)

Для удобства такие произведения записывают с помощью факториала.

Для \(n \ge 1\) число \(n!\) – это произведение первых \(n\) натуральных чисел:

\[ n! = n(n-1)(n-2)\cdots 3 \times 2 \times 1 \]

Запись \(n!\) читается как «\(n\) факториал».

Например,

\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! \]

Заметим, что произведение \(11 \times 10 \times 9 \times 8\) можно записать через факториал так:

\[ 11 \times 10 \times 9 \times 8 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times \color{red}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{\color{red}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{11!}{7!} \]

Разберем пример

Задача:

Запишите в факториальном виде:

a) \(9 \times 8 \times 7\)

b) \(\dfrac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

---

Решение:

a)

\[ 9 \times 8 \times 7 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times \color{red}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{\color{red}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{9!}{6!} \]

b)

\[ \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times \color{red}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times \color{red}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{11!}{4!\,7!} \]

Факториалы от 1 до 10

\( 1! = 1 \)

\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)

\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

\( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)

\( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5\,040 \)

\( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40\,320 \)

\( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362\,880 \)

\( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3\,628\,800 \)

В обычных текстах восклицательный знак означает громкий крик или удивление. В математике этот знак\(\;\) \(!\)\(\;\) тоже обозначает нечто «внушительное» – очень быстрый рост чисел.

Рекуррентная формула – это формула, где значение для \(n\) выражено через значение для меньшего числа, обычно \(n-1\).

Также полезно помнить рекуррентную формулу:

\[ n! = n \times (n-1)!\quad \text{для } n \ge 1 \]

Например,

\[ 6! = 6 \times 5! \]

Из этой формулы следует, что

\[ 1! = 1 \times 0! \]

поэтому принимают определение

\[ 0! = 1 \]