Факториал
У нас есть 5 разных карточек с буквами: \(A, B, C, D, E\). Сколькими способами можно расставить их в ряд?
На 1-е место можно поставить любую из 5 карточек - 5 вариантов. После этого остается 4 карточки, значит на 2-е место - 4 варианта. На 3-е место - 3 варианта. На 4-е место - 2 варианта. На 5-е место - 1 вариант.
По правилу произведения общее число способов равно произведению числа вариантов на каждом шаге:
Эту величину удобно записывать так: \(5! = 120\).
Если карточек 6, получаем:
Для \(n\) карточек:
Это произведение называют факториалом и обозначают \(n!\):
Для \(n \ge 1\) число \(n!\) – это произведение первых \(n\) натуральных чисел:
Запись \(n!\) читается как «\(n\) факториал».
Факториалы от 1 до 10
\( 1! = 1 \)
\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
\( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
\( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5\,040 \)
\( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40\,320 \)
\( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362\,880 \)
\( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3\,628\,800 \)
Рекуррентная формула – это формула, где значение для \(n\) выражено через значение для меньшего числа, обычно \(n-1\).
Также полезно помнить рекуррентную формулу:
Например,
Из этой формулы следует, что
поэтому принимают определение
Сколько способов взять \(k\) элементов из \(n\)
В забеге 5 участников. Сколькими способами можно определить тройку призёров с учетом порядка мест?
Выбираем первое место: 5 вариантов. Выбираем второе место: 4 варианта. Выбираем третье место: 3 варианта.
По правилу произведения:
Теперь рассмотрим вариант, где порядок внутри тройки не важен. Сколькими способами можно выбрать команду из 3 участников из этих же 5?
Из предыдущего пункта получаем 60 троек призёров (I, II и III места). Для одного и того же состава команды (например, \(ABC\)) есть \(3! = 6\) перестановок: \(ABC \to ACB \to BAC \to BCA \to CAB \to CBA\). Значит, каждую команду мы посчитали 6 раз, поэтому делим на \(3!\):
Если из \(n\) разных элементов выбирают \(k\) элементов и ставят их в ряд, то число вариантов равно
Иными словами, нужно перемножить \(k\) подряд идущих чисел, начиная с \(n\).
Если порядок важен, используем это произведение напрямую. Если порядок не важен, делим результат на \(k!\), потому что каждую группу считаем \(k!\) раз.
Задача:
В олимпиаде 12 участников. Сколькими способами можно распределить 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места?
Решение:
Это задача, в которой важно, кто занял какое место.
На первое место — 12 вариантов. На второе место — 11 вариантов. На третье место — 10 вариантов. На четвертое место — 9 вариантов.
Ответ: \(11\,880\).
Задача:
В олимпиаде 12 участников. Нужно выбрать команду из 4 человек.
Решение:
Это задача на выбор без порядка: важен только состав команды.
Сначала считаем четверки с учетом порядка: \(12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11\,880\). Каждому составу соответствуют \(4! = 24\) перестановки, поэтому делим на \(4!\):
Ответ: \(495\).
Задачи для тренировки
1. Сколькими способами можно расставить 6 разных книг на полке?
Ответ
На первое место — 6 вариантов, затем 5, 4, 3, 2, 1. По правилу произведения получаем \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 6! = 720\).
2. В коробке 8 разных подарков. Сколькими способами можно выбрать 2 подарка и положить их на стол слева направо?
Ответ
Сначала выбираем подарок для левого места — 8 вариантов. Для правого места остаётся 7 вариантов. По правилу произведения \(8 \times 7 = 56\).
3. В забеге 7 участников. Сколькими способами можно определить 1-е, 2-е и 3-е места?
Ответ
Сначала выбираем 1-е место (7 вариантов), затем 2-е место (6 вариантов), затем 3-е место (5 вариантов). Порядок мест важен, поэтому перемножаем: \(7 \times 6 \times 5 = 210\).
4. Из 7 участников нужно выбрать команду из 3 человек. Сколько разных команд можно составить?
Ответ
Сначала считаем тройки с порядком мест: \(7 \times 6 \times 5\). Один и тот же состав команды считается \(3!\) раз (все перестановки трёх людей). Поэтому делим на \(3!\): \(\frac{7 \times 6 \times 5}{3!} = 35\).
5. В олимпиаде 10 участников. Сколькими способами можно распределить 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места?
Ответ
На 1-е место — 10 вариантов, на 2-е — 9, на 3-е — 8, на 4-е — 7. По правилу произведения \(10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040\).
6. В кружке 9 учеников. Сколько разных команд из 4 учеников можно выбрать?
Ответ
Если учитывать порядок, получаем \(9 \times 8 \times 7 \times 6\). Но порядок не важен, один и тот же состав встречается \(4!\) раз, поэтому делим: \(\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4!} = 126\).
7. На полке 8 разных книг. Сколькими способами можно поставить в ряд ровно 5 из этих книг?
Ответ
Выбираем первую книгу (8 вариантов), затем 7, 6, 5 и 4. Порядок важен, поэтому \(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720\).
8. Из 8 разных предметов нужно выбрать 4 предмета без учета порядка. Сколько разных наборов получится?
Ответ
Если считать с порядком, получаем \(8 \times 7 \times 6 \times 5\). Порядок не важен, поэтому делим на \(4!\): \(\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4!} = 70\).
В обычных текстах восклицательный знак означает громкий крик или удивление. В математике этот знак\(\;\) \(!\)\(\;\) тоже обозначает нечто «внушительное» – очень быстрый рост чисел.