Размещения

Размещение из \(n\) объектов по \(k\) – это упорядоченный выбор \(k\) различных объектов из \(n\), то есть порядок важен.

Например, \(ABC\)\(\;\) и\(\;\) \(BAC\) – разные размещения.

Разберем пример

Задача:

Перечислите размещения на символах \(X\),\(\;\) \(Y\),\(\;\) \(Z\), если их берут:

a) по одному

b) по два

c) по три

---

Решение:

a) Всего 3 размещения: \(X\),\(\;\) \(Y\),\(\;\) \(Z\)

b) Всего 6 размещений: \(XY\),\(\;\) \(XZ\),\(\;\) \(YX\),\(\;\) \(YZ\),\(\;\) \(ZX\),\(\;\) \(ZY\)

c) Всего 6 размещений: \(XYZ\),\(\;\) \(XZY\),\(\;\) \(YXZ\),\(\;\) \(YZX\),\(\;\) \(ZXY\),\(\;\) \(ZYX\)

Когда объектов много, перечислять все размещения неудобно. Тогда считают по правилу умножения.

Рассмотрим 5 разных символов \(V\),\(\;\) \(W\),\(\;\) \(X\),\(\;\) \(Y\),\(\;\) \(Z\) и размещения «по 3».

Есть 3 позиции.

В 1-ю позицию можно поставить любой из \(5\) исходных символов.

Во 2-ю позицию – любой из \(4\) оставшихся символов.

В 3-ю позицию – любой из \(3\) оставшихся символов.

Значит, всего

\[ 5 \times 4 \times 3 = \frac{5!}{2!} = 60 \]

Число размещений из \(n\) разных объектов по \(k\) равно

\[ \frac{n!}{(n-k)!} \]

Иными словами, чтобы найти число размещений из \(n\) по \(k\), нужно перемножить \(k\) подряд идущих чисел, начиная с \(n\):

\[ \textcolor{gray}{\underbrace{\color{black}{n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1)}}_{\color{gray}{k\ \text{множителей}}}} \]

Разберем пример

Задача:

В шахматном турнире участвуют 16 команд. Сколькими различными способами могут быть заняты первые 7 мест в итоговой таблице?

---

Решение:

На 1-е место можно поставить любую из 16 команд.

На 2-е место – любую из оставшихся 15 команд.

На 3-е место – любую из оставшихся 14 команд.

\(\vdots\)

На 7-е место – любую из оставшихся 10 команд.

Значит, всего

\[ \textcolor{gray}{\underbrace{\color{black}{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}}_{\color{gray}{7\ \text{команд}}}} = \frac{16!}{9!} = 57\,657\,600 \]

Перестановки

Перестановка \(n\) объектов – это размещение из \(n\) объектов по \(n\), то есть упорядочивание всех \(n\) объектов.

Число перестановок \(n\) объектов равно

\[ n! \]

Это частный случай формулы для размещений: если \(k = n\), то \(\dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = n!\)

Разберем пример

Задача:

Сколькими способами можно расставить 5 разных книг на полке?

---

Решение:

Это перестановка 5 объектов.

На 1-е место можно поставить любую из 5 книг.

На 2-е место – любую из оставшихся 4 книг.

На 3-е место – любую из оставшихся 3 книг.

На 4-е место – любую из оставшихся 2 книг.

На 5-е место – оставшуюся 1 книгу.

Значит, всего

\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]