Правило произведения
Рассмотрим три города \(P\), \(Q\) и \(R\), соединённые дорогами, как на рисунке.
Сколько существует разных способов добраться из \(P\) в \(R\) через \(Q\)?
-
Из \(P\) в \(Q\) можно проехать двумя способами (дорога \(\color{red}{a}\) или дорога \(\color{red}{b}\)).
-
Из \(Q\) в \(R\) можно проехать тремя способами.
Если выбрать дорогу \(\color{red}{a}\) из \(P\) в \(Q\), то дальше всё равно остаётся 3 варианта из \(Q\) в \(R\). Если выбрать дорогу \(\color{red}{b}\) из \(P\) в \(Q\), то снова остаётся те же 3 варианта из \(Q\) в \(R\).
Значит, общее число способов равно:
Аналогично, если нужно проехать последовательно через несколько пунктов и на каждом шаге есть фиксированное число вариантов, то числа перемножаются:
Правило произведения
Если первую операцию можно выполнить \(m\) способами, и для каждого из этих способов вторую независимую операцию можно выполнить \(n\) способами, то две операции подряд можно выполнить \(m \times n\) способами.
Правило суммы
Рассмотрим систему дорог из \(P\) в \(Q\).
По верхнему «коридору»:
из \(A\) в \(C\) есть \(2 \times 3 = 6\) путей.
По нижнему «коридору»:
из \(D\) в \(F\) есть \(4 \times 2 = 8\) путей.
Так как из \(P\) можно пойти через
\(A\) или \(D\), эти варианты складываются.
Итак, всего существует \(6 + 8 = 14\) различных путей из \(P\) в \(Q\).
Это и есть правило суммы.
-
Слово «и» чаще всего означает, что варианты нужно умножать.
-
Слово «или» чаще всего означает, что варианты нужно складывать.
Разберем пример
Задача:
Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Решение:
Из \(P\) можно сначала пойти в \(A\), \(C\) или \(E\) – это три альтернативных варианта.
Если сначала пойти в \(A\), то до \(Q\) есть \(2\) пути.
Если сначала пойти в \(C\), то до \(Q\) есть \(2 \times 2 = 4\) пути.
Если сначала пойти в \(E\), то до \(Q\) есть \(3\) пути.
По правилу суммы общее число путей равно
Значит, всего существует \(9\) различных путей из \(P\) в \(Q\).
Задачи для тренировки
1. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Из \(P\) в \(A\) — 2 дороги, из \(A\) в \(Q\) — 3 дороги. По правилу произведения:
Ответ: \(6\).
2. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Можно идти через \(A\) или через \(B\). Через \(A\) — 2 пути, через \(B\) — 3 пути. По правилу суммы:
Ответ: \(5\).
3. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Верхний коридор \(P \to A \to Q\):
Нижний коридор \(P \to B \to Q\):
По правилу суммы:
Ответ: \(12\).
4. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Три последовательных шага: из \(P\) в \(A\) — 3 варианта, из \(A\) в \(B\) — 2 варианта, из \(B\) в \(Q\) — 3 варианта. По правилу произведения:
Ответ: \(18\).