Правило произведения
Рассмотрим три города \(P\), \(Q\) и \(R\), соединённые дорогами, как на рисунке.
Сколько существует разных способов добраться из \(P\) в \(R\) через \(Q\)?
-
Из \(P\) в \(Q\) можно проехать двумя способами: по дороге \(\color{red}{a}\) или по дороге \(\color{red}{b}\).
-
Из \(Q\) в \(R\) можно проехать тремя способами.
Если выбрать дорогу \(\color{red}{a}\) из \(P\) в \(Q\), то дальше всё равно остаётся 3 варианта из \(Q\) в \(R\). Если выбрать дорогу \(\color{red}{b}\) из \(P\) в \(Q\), то снова остаётся те же 3 варианта из \(Q\) в \(R\).
Значит, общее число способов равно:
Если маршрут проходит через несколько пунктов последовательно, на каждом шаге выбираем один из фиксированных вариантов. Тогда числа вариантов перемножаются:
Правило произведения: Первую операцию можно выполнить \(m\) способами. Для каждого такого выбора вторую независимую операцию можно выполнить \(n\) способами. Тогда две операции подряд можно выполнить \(m \times n\) способами.
Правило суммы
Рассмотрим систему дорог из \(P\) в \(Q\).
По верхнему «коридору»:
из \(A\) в \(C\) есть \(2 \times 3 = 6\) путей.
По нижнему «коридору»:
из \(D\) в \(F\) есть \(4 \times 2 = 8\) путей.
Так как из \(P\) можно пойти через
\(A\) или \(D\), эти варианты складываются.
Итак, всего существует \(6 + 8 = 14\) различных путей из \(P\) в \(Q\).
Это и есть правило суммы.
-
Слово «и» чаще всего означает, что варианты нужно умножать.
-
Слово «или» чаще всего означает, что варианты нужно складывать.
Задача:
Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Решение:
Из \(P\) можно сначала пойти в \(A\), \(C\) или \(E\) – это три альтернативных варианта.
Если сначала пойти в \(A\), то до \(Q\) есть \(2\) пути.
Если сначала пойти в \(C\), то до \(Q\) есть \(2 \times 2 = 4\) пути.
Если сначала пойти в \(E\), то до \(Q\) есть \(3\) пути.
По правилу суммы общее число путей равно
Значит, всего существует \(9\) различных путей из \(P\) в \(Q\).
Задачи для тренировки
1. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Из \(P\) в \(A\) — 2 дороги, из \(A\) в \(Q\) — 3 дороги. По правилу произведения:
Ответ: \(6\).
2. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Можно идти через \(A\) или через \(B\). Через \(A\) — 2 пути, через \(B\) — 3 пути. По правилу суммы:
Ответ: \(5\).
3. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Верхний коридор \(P \to A \to Q\):
Нижний коридор \(P \to B \to Q\):
По правилу суммы:
Ответ: \(12\).
9. Сколько четырёхзначных кодов можно составить из цифр \(0\)–\(9\), если первая цифра не равна \(0\)?
Ответ
Разбор. Первая цифра — 9 вариантов, остальные — по 10 вариантов:
Ответ: \(9000\).
10. В кино выбирают фильм (2 варианта), сеанс (3 варианта), ряд (5 вариантов) и место в ряду (8 вариантов). Сколько всего вариантов покупки?
Ответ
Разбор. Четыре последовательных выбора:
Ответ: \(240\).
11. До школы можно добраться на автобусе (2 маршрута), при этом нужно выбрать тип билета (обычный или льготный), или пешком (3 дорожки). Сколько всего способов?
Ответ
Разбор. Автобус: \(2 \times 2 = 4\) способа. Пешком: \(3\) способа. По правилу суммы:
Ответ: \(7\).
12. В каких случаях применяется правило произведения, а в каких — правило суммы? Сформулируйте кратко.
Ответ
Правило произведения — для последовательных независимых шагов.
Правило суммы — для альтернативных вариантов («или»).
4. Сколько различных путей ведут из \(P\) в \(Q\)?
Ответ
Разбор. Три последовательных шага: из \(P\) в \(A\) — 3 варианта, из \(A\) в \(B\) — 2 варианта, из \(B\) в \(Q\) — 3 варианта. По правилу произведения:
Ответ: \(18\).
5. Сколько различных путей ведут из \(A\) в \(B\)? (см. рисунок a)
Ответ
Разбор. Два независимых коридора: верхний — 2 пути, нижний — 3 пути. По правилу суммы:
Ответ: \(5\).
6. Сколько различных путей ведут из \(A\) в \(B\)? (см. рисунок b)
Ответ
Разбор. Два коридора от \(A\) до \(B\). Верхний: 3 пути (параллельные дуги между двумя узлами). Нижний: 2 \(\times\) 2 пути. По правилу суммы:
Ответ: \(7\).
7. Сколько различных путей ведут из \(A\) в \(B\)? (см. рисунок c)
Ответ
Разбор. Три коридора. Верхний: 3 пути. Средний: 2 пути. Нижний: 2 \(\times\) 2 пути. По правилу суммы:
Ответ: \(9\).
8. Сколько различных путей ведут из \(A\) в \(B\)? (см. рисунок d)
Ответ
Разбор. Четыре коридора. Верхний: 2 пути. Второй: 2 \(\times\) 2 пути. Третий: 2 пути. Нижний: 2 \(\times\) 2 пути. По правилу суммы:
Ответ: \(12\).