Арифметика в системах счисления

Арифметические действия выполняются так же, как в десятичной системе, но с учётом основания \(b\). Основные правила — перенос при сложении и заимствование при вычитании.

Сложение

При сложении в системе с основанием \(b\):

складываем цифры разряда;
если сумма \(\ge b\), записываем сумму минус \(b\), а перенос равен 1;
перенос прибавляется к следующему разряду.

Задача:

Найдите \((101101)_2 + (11010)_2\).

Решение:

  101101
+ 011010
-------
 1000111

Значит, \((101101)_2 + (11010)_2 = (1000111)_2\).

Вычитание

Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, делаем заимствование из старшего разряда. В системе с основанием \(b\) это означает прибавить \(b\) к текущей цифре и уменьшить старший разряд на 1.

Задача:

Найдите \((725)_8 - (346)_8\).

Решение:

  725
- 346
-----
  357

Значит, \((725)_8 - (346)_8 = (357)_8\).

Умножение и деление на основание

Умножение на основание \(b\) сдвигает запись на один разряд влево и добавляет ноль справа. Деление на \(b\) удаляет последнюю цифру (если число делится на \(b\) без остатка).

Например, \((234)_6 \cdot 6 = (2340)_6\), а \((2340)_6 / 6 = (234)_6\).

Задачи для тренировки

1. Найдите сумму:

a) \((10101)_2 + (111)_2\)

b) \((243)_5 + (34)_5\)

Ответ

a) \((11100)_2\).

b) \((332)_5\).

2. Найдите разность:

a) \((603)_7 - (245)_7\)

Ответ

a) \((325)_7\).

3. Заполните пропуск:

\((321)_6 \cdot 6 = (\_\_\_\_)_6\).

Ответ

\((3210)_6\).