Позиционная запись и основание

В позиционных системах значение цифры зависит от ее места. Это отличие от непозиционных систем (например, римских чисел).

Основание \(b\) — число различных цифр в системе счисления.

Цифры записывают из множества \(\{0,1,\dots,b-1\}\).

Разложение по степеням основания

Если число записано как \((a_k a_{k-1} \dots a_0)_b\), то

\[ (a_k a_{k-1} \dots a_0)_b = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \dots + a_0. \]

Пример:

\[ (2304)_5 = 2\cdot5^3 + 3\cdot5^2 + 0\cdot5 + 4. \]

В позиционной записи ведущие нули не меняют значение числа: \(0073_{10} = 73_{10}\).

Задачи для тренировки

1. Можно ли использовать цифру 7 в системе с основанием \(5\)?

Ответ

Нет, в основании 5 допустимы только цифры 0-4.

2. Разложите \((4021)_5\) по степеням основания.

Ответ

\(4\cdot5^3 + 0\cdot5^2 + 2\cdot5 + 1\).