Круги Эйлера
Круги Эйлера отражают взаимосвязь между множествами.
Универсальное множество \(U\) обычно изображают в виде прямоугольника, а остальные множества – в виде кругов внутри него.
На рисунке показано множество \(A\) внутри универсального множества \(U\).
Дополнение множества \(\overline{A}\) – заштрихованная область вне круга \(A\).
Подмножества
Если \(B \subseteq A\), то каждый элемент множества \(B\) также принадлежит \(A\).
Круг, изображающий \(B\), располагается внутри круга, изображающего \(A\).
Пересекающиеся множества
Рассмотрим два множества \(A\) и \(B\), которые имеют некоторые общие элементы, но при этом ни одно не является подмножеством другого.
На кругах Эйлера их изображают пересекающимися кругами.
Пересечение \(A \cap B\) состоит из всех элементов, общих для \(A\) и \(B\).
Это область, где оба круга пересекаются.
Объединение \(A \cup B\) состоит из всех элементов, которые принадлежат \(A\) или \(B\) (или обоим сразу).
Это область, включающая оба круга и их пересечение.
Разность \(A \setminus B\) состоит из всех элементов множества \(A\), которые не принадлежат \(B\).
Это часть круга \(A\) без области пересечения.
Непересекающиеся множества
Непересекающиеся множества не имеют общих элементов.
На кругах Эйлера их изображают непересекающимися кругами. В этом случае \(A \cap B = \varnothing\).
Задача:
Пусть \(U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\}\). Изобразите на кругах Эйлера следующие множества:
a) \(A = \{1,\ 3,\ 6,\ 8\}\) и \(B = \{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 8\}\)
b) \(A = \{1,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}\) и \(B = \{3,\ 6,\ 8\}\)
c) \(A = \{2,\ 4,\ 8\}\) и \(B = \{1,\ 3,\ 5\}\)
Решение:
a)
\(A \cap B = \{3,\ 8\}\).
На кругах Эйлера эти два множества изображаются двумя пересекающимися кругами, чтобы показать, что часть элементов у них общая (\(3\) и \(8\)), а остальная часть различна.
b)
\(A \cap B = \{3,\ 6,\ 8\} = B\).
Все элементы \(B\) входят в \(A\), но \(B \ne A\), следовательно \(B \subset A\).
На кругах Эйлера это отображается кругом \(B\), полностью находящимся внутри круга \(A\).
c)
\(A \cap B = \varnothing\).
Множества \(A\) и \(B\) не имеют общих элементов.
На кругах Эйлера это показывается двумя непересекающимися кругами.
Области кругов Эйлера
Существует множество ситуаций, когда нас интересует только количество элементов в каждой области кругов Эйлера. Нам не обязательно показывать все элементы на рисунке, поэтому вместо них мы указываем число элементов в скобках.
Задача:
Используя данные круги Эйлера, найдите количество элементов в:
a) \(P\)
b) \(\overline{Q}\)
c) \(P \cup Q\)
d) \(P\), но не \(Q\)
e) \(Q \cap \overline{P}\)
f) ни в \(P\), ни в \(Q\)
Решение:
По данным на диаграмме:
a) \(|P| = 7 + 3 = 10\)
b) \(|\overline{Q}| = 7 + 4 = 11\)
c) \(|P \cup Q| = 7 + 3 + 11 = 21\)
d) \(|P \cap \overline{Q}| = 7\)
e) \(|Q \cap \overline{P}| = 11\)
f) \(|\overline{P \cup Q}| = 4\)
Задача:
Дано: \(|U| = 30\), \(|A| = 14\), \(|B| = 17\) и \(|A \cap B| = 6\). Найдите:
a) \(|A \cup B|\)
b) \(|A \cap \overline{B}|\)
Решение:
Из условия известно, что \(|A \cap B| = 6\). Тогда:
Остальные элементы, которые не принадлежат ни \(A\), ни \(B\), составляют:
Следовательно:
a) \(|A \cup B| = |A \cap B| + |A \cap \overline{B}| + |\overline{A} \cap B| = 6 + 8 + 11 = 25\)
b) \(|A \cap \overline{B}| = 8\)
Задачи для тренировки
1. Рассмотрите диаграмму.
a) Перечислите элементы \(A\).
b) Перечислите элементы \(B\).
c) Найдите \(A \cap B\).
d) Найдите \(A \cup B\).
Ответ
a) \(A = \{1, 2, 4, 6\}\).
b) \(B = \{2, 3, 5, 6, 8\}\).
c) \(A \cap B = \{2, 6\}\).
d) \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}\).
2. Рассмотрите диаграмму.
a) Найдите \(A \setminus B\).
b) Найдите \(B \setminus A\).
c) Найдите \(\overline{A}\).
Ответ
a) \(A \setminus B = \{1, 5\}\).
b) \(B \setminus A = \{3, 4, 6\}\).
c) \(\overline{A} = \{3, 4, 6, 7\}\).
3. Рассмотрите диаграмму ( \(B \subset A\) ).
a) Перечислите элементы \(A\) и \(B\).
b) Найдите \(A \setminus B\).
c) Найдите \(\overline{B}\).
Ответ
a) \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(\;B = \{2, 4\}\).
b) \(A \setminus B = \{1, 3, 5\}\).
c) \(\overline{B} = \{1, 3, 5, 6, 7\}\).
4. Рассмотрите диаграмму непересекающихся множеств.
a) Найдите \(A \cap B\).
b) Найдите \(A \cup B\).
c) Найдите \(\overline{A \cup B}\).
Ответ
a) \(A \cap B = \varnothing\).
b) \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
c) \(\overline{A \cup B} = \{6, 7, 8\}\).
5. По диаграмме найдите:
a) \(|A|\)
b) \(|B|\)
c) \(|A \cap B|\)
d) \(|A \cup B|\)
Ответ
a) \(|A| = 5 + 3 = 8\).
b) \(|B| = 4 + 3 = 7\).
c) \(|A \cap B| = 3\).
d) \(|A \cup B| = 5 + 3 + 4 = 12\).
6. По диаграмме найдите:
a) \(|A \setminus B|\)
b) \(|B \setminus A|\)
c) \(|\overline{A}|\)
d) \(|\overline{B}|\)
Ответ
a) \(|A \setminus B| = 7\).
b) \(|B \setminus A| = 5\).
c) \(|\overline{A}| = 5 + 1 = 6\).
d) \(|\overline{B}| = 7 + 1 = 8\).
7. По диаграмме ( \(B \subset A\) ) найдите:
a) \(|A|\)
b) \(|B|\)
c) \(|A \cup B|\)
d) \(|\overline{A}|\)
Ответ
a) \(|A| = 9 + 4 = 13\).
b) \(|B| = 4\).
c) \(|A \cup B| = 13\).
d) \(|\overline{A}| = 3\).
8. По диаграмме найдите:
a) \(|A|\)
b) \(|B|\)
c) \(|A \cap B|\)
d) \(|\overline{A \cup B}|\)
Ответ
a) \(|A| = 2 + 6 = 8\).
b) \(|B| = 1 + 6 = 7\).
c) \(|A \cap B| = 6\).
d) \(|\overline{A \cup B}| = 5\).
Нарисуйте и заштрихуйте область у себя в тетради.
9. Заштрихуйте область \(A \cap B\).
Ответ
10. Заштрихуйте область \(A \cup B\).
Ответ
11. Заштрихуйте область \(A \setminus B\).
Ответ
12. Заштрихуйте область \(B \setminus A\).
Ответ
13. Заштрихуйте область \(\overline{A}\).
Ответ
14. Заштрихуйте область \(\overline{A \cup B}\).
Ответ
