Числовые множества
Ниже приведены некоторые числовые множества, которые полезно знать. Все эти множества бесконечны.
\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots\}\) – множество всех натуральных чисел.
\(\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}\) – множество всех целых чисел.
\(\mathbb{Z}\) можно разбить на три непересекающихся подмножества:
Тогда
\(\mathbb{R}\) – множество всех действительных чисел, то есть всех чисел, которые можно расположить на числовой прямой.
Примеры действительных чисел: \(0.75, -6.0, \sqrt{2}, \pi\).
Числовые множества образуют строгую иерархию:
Например, число \(3 \in \mathbb{N}\) можно изобразить как \(3.0 \in \mathbb{R}\), но если взять \(3.7\), чтобы получить целое число, нужно выполнить округление: \(3.7 \to 4\).
Существует три стандартных способа перевода действительных чисел в целые:
- Математическое округление \(\operatorname{round}(x)\):
- Округление вниз \(\lfloor x \rfloor\) (пол):
- Округление вверх \(\lceil x \rceil\) (потолок):
Функция модуля \(|x|\) преобразует любое целое число в неотрицательное:
Примеры:
- \(|-7| = 7\) (отрицательное переходит в положительное)
- \(|5| = 5\) (положительное не меняется)
- \(|0| = 0\) (ноль остаётся нулём)
Интервальная запись
Чтобы описать множество всех целых чисел между \(-3\) и \(5\), можно перечислить элементы множества, например \(\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}\), или изобразить их точками на числовой прямой.
Альтернативный вариант – использовать интервальную запись и написать:
Мы читаем это как: множество всех целых чисел \(x\) таких, что \(x\) лежит между \(-3\) и \(5\)
Интервальная запись особенно полезна, если множество содержит большое или бесконечное количество элементов, и перечислить их все затруднительно или невозможно.
Например:
Иногда запись сокращают, опуская указание множества, к которому принадлежит \(x\). Например, вместо \(\{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x < 4\}\) пишут
При этом по умолчанию предполагается, что \(x \in \mathbb{R}\).
Читается так: множество всех действительных чисел \(x\), таких что \(x\) больше или равно \(-2\) и меньше \(4\).
На числовой прямой это представляют так:
Задачи для тренировки
1. Пусть \(U = \{x \in \mathbb{Z} \mid 0 \le x \le 8\}\), \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 2 \le x \le 7\}\), \(B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 5 \le x \le 8\}\). Перечислите элементы множеств:
a) \(A\)
b) \(\overline{A}\)
c) \(B\)
d) \(\overline{B}\)
e) \(A \cap B\)
f) \(A \cup B\)
g) \(A \cap \overline{B}\)
Ответ
Разбор. Все множества состоят из целых чисел на отрезке от \(0\) до \(8\). \(A\) — числа от \(2\) до \(7\), \(B\) — от \(5\) до \(8\).
\(U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).
a) \(A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\).
b) \(\overline{A} = U \setminus A = \{0, 1, 8\}\).
c) \(B = \{5, 6, 7, 8\}\).
d) \(\overline{B} = U \setminus B = \{0, 1, 2, 3, 4\}\).
e) \(A \cap B = \{5, 6, 7\}\).
f) \(A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).
g) \(A \cap \overline{B} = \{2, 3, 4\}\).
2. Пусть \(U = \{x \in \mathbb{Z} \mid 0 \le x \le 40\}\), \(P\) – множество делителей числа \(28\), \(Q\) – множество делителей числа \(40\).
a) Перечислите элементы множеств \(P\) и \(Q\).
b) Найдите \(P \cap Q\).
c) Найдите \(P \cup Q\).
d) Проверьте равенство \(|P \cup Q| = |P| + |Q| - |P \cap Q|\).
Ответ
Разбор. \(P\) и \(Q\) — множества делителей 28 и 40, то есть перечисляем все делители. Пересечение — общие делители, объединение — все делители без повторов.
a) \(P = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}\).
\(Q = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\}\).
b) \(P \cap Q = \{1, 2, 4\}\).
c) \(P \cup Q = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 40\}\).
d) \(|P| = 6\), \(|Q| = 8\), \(|P \cap Q| = 3\), \(|P \cup Q| = 11\).
Проверка: \(6 + 8 - 3 = 11\).
3. Пусть \(U = \mathbb{Z}\), \(C = \{y \in \mathbb{Z} \mid -4 \le y \le -1\}\), \(D = \{y \in \mathbb{Z} \mid -7 \le y < 0\}\).
a) Перечислите элементы множеств \(C\) и \(D\).
b) Найдите \(C \cap D\).
c) Найдите \(C \cup D\).
d) Проверьте равенство \(|C \cup D| = |C| + |D| - |C \cap D|\).
Ответ
Разбор. \(C\) — целые числа от \(-4\) до \(-1\), \(D\) — от \(-7\) до \(-1\). Поэтому \(C \subset D\): пересечение равно \(C\), объединение равно \(D\).
a) \(C = \{-4, -3, -2, -1\}\).
\(D = \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1\}\).
b) \(C \cap D = \{-4, -3, -2, -1\}\).
c) \(C \cup D = \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1\}\).
d) \(|C| = 4\), \(|D| = 7\), \(|C \cap D| = 4\), \(|C \cup D| = 7\).
Проверка: \(4 + 7 - 4 = 7\).
4. Пусть \(S = \{x \in \mathbb{Z} \mid 2 < x \le 7\}\).
a) Перечислите элементы множества \(S\).
b) Изобразите \(S\) на числовой прямой.
c) Найдите \(|S|\).
Ответ
Разбор. Условие \(2 < x \le 7\) означает, что \(x\) — целые числа от 3 до 7 включительно.
a) \(S = \{3, 4, 5, 6, 7\}\).
b) На числовой прямой это интервал \((2, 7]\) с целыми точками \(3, 4, 5, 6, 7\).
c) \(|S| = 5\).
5. Определите, верно ли \(A \subseteq B\):
a) \(A = \{2, 4, 6, 8\}\) и \(B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 0 < x < 10\}\)
b) \(A = \varnothing\) и \(B = \{x \mid 2 < x < 3\}\)
c) \(A = \{x \in \mathbb{Q} \mid 2 < x \le 4\}\) и \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x < 4\}\)
d) \(A = \{x \mid x < 3\}\) и \(B = \{x \mid x \le 4\}\)
Ответ
Разбор. Проверяем: каждый элемент \(A\) должен принадлежать \(B\).
a) \(A = \{2,4,6,8\}\), а \(B = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Все элементы \(A\) лежат внутри \(B\) ⇒ верно.
b) \(A = \varnothing\) — пустое множество, оно является подмножеством любого множества ⇒ верно.
c) \(A = (2,4] \cap \mathbb{Q}\), а \(B = [0,4) \cap \mathbb{R}\). Число \(4\) принадлежит \(A\), но не принадлежит \(B\) ⇒ ложно.
d) \(A = \{x \mid x < 3\}\), \(B = \{x \mid x \le 4\}\). Любое \(x < 3\) автоматически \(x \le 4\) ⇒ верно.
6. Найдите дополнение множества \(X\) в универсальном множестве \(U\):
a) \(U\) – \(7\) цветов радуги, \(X = \{\text{red}, \text{indigo}, \text{violet}\}\)
b) \(U = \{x \in \mathbb{Z} \mid -5 \le x \le 5\}\) и \(X = \{-4, -1, 3, 4\}\)
c) \(U = \mathbb{Q}\) и \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -8\}\)
Ответ
Разбор. Дополнение — это все элементы универсального множества \(U\), которые не принадлежат \(X\).
a) В \(U\) — 7 цветов радуги, в \(X\) — 3 из них. Остальные 4 и есть дополнение: \(\overline{X} = \{\text{orange}, \text{yellow}, \text{green}, \text{blue}\}\).
b) \(U\) — все целые от \(-5\) до \(5\), а \(X = \{-4, -1, 3, 4\}\). Значит, дополняем \(U\), исключая точки из \(X\): \(\overline{X} = \{-5, -3, -2, 0, 1, 2, 5\}\).
c) Если \(U = \mathbb{Q}\), а \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < -8\}\), то дополнение — все рациональные числа не меньше \(-8\): \(\overline{X} = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -8\}\).
7. Пусть \(P = \{x \in \mathbb{Z} \mid 3 \le x < 10\}\), \(Q = \{2, 9, 15\}\), \(R = \{\text{кратные } 3 \text{ меньше } 12\}\).
a) Перечислите элементы множества \(P\).
b) Найдите \(|P|\).
c) Укажите, является ли \(P\) конечным.
d) Объясните, почему:
i) \(Q \not\subseteq P\)
ii) \(R \subset P\)
e) Перечислите элементы множеств:
i) \(P \cap Q\)
ii) \(R \cap Q\)
iii) \(R \cup Q\)
Ответ
Разбор. \(P\) — все целые от \(3\) до \(9\) включительно. \(R\) — кратные \(3\), меньшие \(12\): \(\{3,6,9\}\).
\(R = \{3, 6, 9\}\).
a) \(P = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
b) \(|P| = 7\).
c) Конечное.
d) i) \(2 \notin P\) и \(15 \notin P\), значит \(Q \not\subseteq P\).
ii) \(3, 6, 9 \in P\), значит \(R \subset P\).
e) i) \(P \cap Q = \{9\}\).
ii) \(R \cap Q = \{9\}\).
iii) \(R \cup Q = \{2, 3, 6, 9, 15\}\).