Множества
В математике часто бывает удобно говорить о группе чисел или о группе объектов. Такие группы мы называем множествами.
Множество – это набор чётко определённых объектов.
Объекты, входящие в множество, называют элементами.
Мы используем заглавную букву, например \(A\), чтобы обозначить множество.
Когда мы перечисляем элементы множества, мы записываем их в фигурных скобках.
Примеры множеств
- \(A = \{2, 3, 5, 7, 11\}\) – множество простых чисел, которые меньше 13.
- \(B = \{a, e, i, o, u\}\) – множество всех гласных английского алфавита.
- \(C = \{\text{blue}, \text{grey}, \text{hazel}, \text{brown}, \text{green}\}\) – множество цветов глаз учеников в классе.
Мы также можем использовать слова, чтобы описать множество.
Например, множество всех кратных трём, которые меньше 13, можно записать так:
- \(a \in A\) означает: элемент \(a\) принадлежит множеству \(A\).
- \(a \notin A\) означает: элемент \(a\) не принадлежит множеству \(A\).
- \(|A|\) – мощность множества \(A\), то есть число его элементов.
Например, если \(A = \{2, 3, 5, 7, 11\}\), тогда:
Задача:
\( P \text{ – множество букв в слове AMATEUR}, \qquad Q \text{ – множество букв в слове TEAM}. \)
a) Перечислите элементы \(P\) и \(Q\).
b) Найдите \(|P|\) и \(|Q|\).
c) Определите, верно или ложно каждое из следующих утверждений:
i) \(U \in Q\)\(\qquad\qquad\)ii) \(R \notin Q\)
Решение:
a) \(P = \{A, M, T, E, U, R\}\),\(\qquad\) \(Q = \{T, E, A, M\}\).
b) \(|P| = 6\),\(\qquad\) \(|Q| = 4\).
c)
i) Буква \(U\) отсутствует в слове TEAM, значит \(U \in Q\) – ложное утверждение.
ii) Буква \(R\) отсутствует в слове TEAM, значит \(R \notin Q\) – истинное утверждение.
Два множества равны, если они содержат в точности одни и те же элементы.
Элементы множества не обязательно указывать в каком-либо определённом порядке.
Например, если \(A = \{2, 3, 8\}\) и \(B = \{3, 8, 2\}\), то \(A = B\).
Задачи для тренировки
1. Перечислите элементы множества:
a) положительные чётные числа меньше \(14\)
b) месяцы года
c) положительные нечётные числа между \(15\) и \(30\)
d) простые числа меньше \(23\)
e) цвета медалей на Олимпийских играх
f) делители числа \(12\)
Ответ
a) \(\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\).
b) \(\{\text{январь}, \text{февраль}, \text{март}, \text{апрель}, \text{май}, \text{июнь}, \text{июль}, \text{август}, \text{сентябрь}, \text{октябрь}, \text{ноябрь}, \text{декабрь}\}\).
c) \(\{17, 19, 21, 23, 25, 27, 29\}\).
d) \(\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\).
e) \(\{\text{золото}, \text{серебро}, \text{бронза}\}\).
f) \(\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\).
2. Для каждого множества \(A\):
i) перечислите элементы \(A\)
ii) найдите \(|A|\).
a) \(A = \{\text{составные числа меньше } 18\}\)
b) \(A = \{\text{буквы между G и T в английском алфавите}\}\)
c) \(A = \{\text{кратные } 7 \text{ между } 20 \text{ и } 60\}\)
d) \(A = \{\text{делители числа } 32\}\)
e) \(A = \{\text{квадраты чисел между } 5 \text{ и } 50\}\)
f) \(A = \{\text{простые числа, делящиеся на } 6\}\)
Ответ
a) \(A = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16\}\), \(|A| = 9\).
b) \(A = \{H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S\}\), \(|A| = 12\).
c) \(A = \{21, 28, 35, 42, 49, 56\}\), \(|A| = 6\).
d) \(A = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\}\), \(|A| = 6\).
e) \(A = \{9, 16, 25, 36, 49\}\), \(|A| = 5\).
f) Таких простых чисел нет, поэтому \(A = \varnothing\), \(|A| = 0\).
3. Пусть \(F\) – множество делителей числа \(28\), а \(M\) – множество кратных \(6\), которые меньше \(50\).
a) Перечислите элементы множеств \(F\) и \(M\).
b) Верно ли, что \(8 \in F\)? Верно ли, что \(24 \in M\)?
c) Найдите \(|F|\) и \(|M|\).
Ответ
a) \(F = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}\), \(|F| = 6\). \(M = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\}\), \(|M| = 8\).
b) \(8 \notin F\). \(24 \in M\).
c) \(|F| = 6\), \(|M| = 8\).
4. Пусть \(P\) – множество простых чисел между \(0\) и \(15\), а \(Q\) – множество делителей числа \(27\).
a) Перечислите элементы множеств \(P\) и \(Q\).
b) Найдите \(|P|\).
c) Верно ли, что \(12 \in Q\)?
d) Найдите число, которое является элементом обоих множеств.
Ответ
a) \(P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}\).\;\; \(Q = \{1, 3, 9, 27\}\).
b) \(|P| = 6\).
c) \(12 \notin Q\).
d) Общее число: \(3\).
5. Какие два множества равны?
\(A = \{\text{red}, \text{white}, \text{yellow}, \text{green}\}\)
\(B = \{\text{white}, \text{green}, \text{blue}, \text{red}\}\)
\(C = \{\text{green}, \text{red}, \text{white}\}\)
\(D = \{\text{blue}, \text{white}, \text{red}, \text{black}, \text{green}\}\)
\(E = \{\text{blue}, \text{white}, \text{red}, \text{green}\}\)
\(F = \{\text{yellow}, \text{red}, \text{white}, \text{blue}\}\)
Ответ
Равны множества \(B\) и \(E\).
6. Пусть \(A = \{3, 5, 1, 4\}\) и \(B = \{1, 3, 4, \square\}\) – равные множества. Найдите \(\square\).
Ответ
\(\square = 5\).
7. Пусть \(P = \{\text{чётные числа между } 10 \text{ и } 20\}\) и \(Q = \{\text{кратные } 2 \text{ между } 11 \text{ и } 19\}\). Равны ли множества \(P\) и \(Q\)?
Ответ
Да, равны: \(P = Q = \{12, 14, 16, 18\}\).
8. Верно или ложно?
a) Если \(A = B\), то \(|A| = |B|\).
b) Если \(|A| = |B|\), то \(A = B\).
Ответ
a) Верно.
b) Ложно.
Подмножества
Рассмотрим множества \(M = \{2, 7, 8\}\) и \(N = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 11\}\).
Заметьте, что каждый элемент \(M\) также является элементом \(N\).
Говорят, что \(M\) – это подмножество \(N\).
\(A\) является подмножеством \(B\), если каждый элемент \(A\) также является элементом \(B\).
Если \(A\) – подмножество \(B\), то мы пишем \(A \subseteq B\).
Множество \(A\) называют строгим подмножеством множества \(B\), если \(A\subseteq B\), но \(A \ne B\).
В этом случае пишут \(A \subset B\).
Задача:
Пусть \(A = \{2, 5\}\), \(B = \{2, 5, 7\}\), \(C = \{5, 2\}\).
Определите, верны ли утверждения:
a) \(A \subseteq B\)
b) \(A \subset B\)
c) \(A = C\)
Решение:
a) Каждый элемент \(A\) входит в \(B\), значит \(A \subseteq B\) – верно.
b) \(A \ne B\) и при этом \(A \subseteq B\), значит \(A \subset B\) – верно.
c) Множества равны, если содержат одни и те же элементы. Порядок перечисления элементов не важен, значит \(A = C\) – верно.
Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента.
Символ \(\varnothing\) используют для обозначения пустого множества.
Множество всех простых чисел между 8 и 10 – это пример пустого множества.
Задача:
Перечислите все подмножества \(\{1,2,3\}\).
Решение:
Для множества \(\{1,2,3\}\) подмножествами являются:
- \(\varnothing\) – пустое множество.
- \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\) – подмножества, содержащие один элемент.
- \(\{1,2\}\), \(\{1,3\}\), \(\{2,3\}\) – подмножества, содержащие два элемента.
- \(\{1,2,3\}\) – само множество.
Всего \(8\) подмножеств.
Задачи для тренировки
1. Верно или ложно?
a) \(\{1,2,3,4\} \subseteq \{1,2,3,4,5,6\}\)
b) \(\{1,2,3,4\} \subseteq \{4,3,2,1\}\)
c) \(\{1,2,3,4\} \subseteq \{2,3,4\}\)
d) \(\{2,4,6\} \subseteq \{\text{чётные числа}\}\)
Ответ
a) Верно.
b) Верно.
c) Ложно.
d) Верно.
2. Перечислите все подмножества множества \(\{\heartsuit, \spadesuit, \clubsuit, \diamondsuit\}\).
Ответ
\(\varnothing\), \(\{\heartsuit\}\), \(\{\spadesuit\}\), \(\{\clubsuit\}\), \(\{\diamondsuit\}\), \(\{\heartsuit,\spadesuit\}\), \(\{\heartsuit,\clubsuit\}\), \(\{\heartsuit,\diamondsuit\}\), \(\{\spadesuit,\clubsuit\}\), \(\{\spadesuit,\diamondsuit\}\), \(\{\clubsuit,\diamondsuit\}\), \(\{\heartsuit,\spadesuit,\clubsuit\}\), \(\{\heartsuit,\spadesuit,\diamondsuit\}\), \(\{\heartsuit,\clubsuit,\diamondsuit\}\), \(\{\spadesuit,\clubsuit,\diamondsuit\}\), \(\{\heartsuit,\spadesuit,\clubsuit,\diamondsuit\}\).
3. Пусть \(M = \{3,4,5\}\). Перечислите подмножества множества \(M\), которые содержат ровно:
a) один элемент
b) два элемента
c) три элемента
Ответ
a) \(\{3\}\), \(\{4\}\), \(\{5\}\).
b) \(\{3,4\}\), \(\{3,5\}\), \(\{4,5\}\).
c) \(\{3,4,5\}\).
4. Пусть \(N = \{1,2,3,4\}\). Перечислите подмножества множества \(N\), которые содержат ровно:
a) два элемента
b) три элемента
Ответ
a) \(\{1,2\}\), \(\{1,3\}\), \(\{1,4\}\), \(\{2,3\}\), \(\{2,4\}\), \(\{3,4\}\).
b) \(\{1,2,3\}\), \(\{1,2,4\}\), \(\{1,3,4\}\), \(\{2,3,4\}\).
5. Пусть \(P = \{\text{квадраты чисел между } 0 \text{ и } 10\}\), а \(Q = \{\text{делители числа } 36\}\). Докажите, что \(P \subseteq Q\).
Ответ
\(P = \{1,4,9\}\).
\(Q = \{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\).
Каждый элемент \(P\) входит в \(Q\), значит \(P \subseteq Q\).
6. Пусть \(A\) – множество всех учеников в вашем классе, а \(B\) – множество всех учеников в вашей школе. Объясните, почему \(A \subseteq B\).
Ответ
Каждый ученик класса является учеником школы, значит каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\). Поэтому \(A \subseteq B\).
Пересечение и объединение множеств
Пересечением двух множеств \(A\) и \(B\) называется множество элементов, которые принадлежат одновременно и множеству \(A\), и множеству \(B\).
Пересечение множеств \(A\) и \(B\) записывается как \(A \cap B\).
Два множества \(A\) и \(B\) называются непересекающимися, если у них нет общих элементов. В этом случае \(A \cap B = \varnothing\).
Объединением двух множеств \(A\) и \(B\) называется множество элементов, которые принадлежат множеству \(A\) или множеству \(B\).
Объединение множеств \(A\) и \(B\) записывается как \(A \cup B\).
Задача:
Даны множества
\(M = \{2, 3, 5, 7, 8, 9\}\)\(\qquad\)и\(\qquad\)\(N = \{3, 4, 6, 9, 10\}\).
Перечислите множества:
a) \(M \cap N\)
b) \(M \cup N\)
Решение:
a)
\(M \cap N = \{3, 9\}\)
так как 3 и 9 являются элементами обоих множеств.
b)
Каждый элемент, который принадлежит \(M\) или \(N\), входит в объединение этих множеств.
Следовательно
\(M \cup N = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\).
Задачи для тренировки
1. Найдите \(A \cap B\) для:
a) \(A = \{a, e, i, o, u\}\), \(B = \{a, r, e, s, t\}\)
b) \(A = \{5, 6, 8, 10, 12\}\), \(B = \{3, 6, 9, 10\}\)
c) \(A = \{\div, \times, \triangleright, \#, +, \%\}\), \(B = \{-, @, +, \bullet\}\)
d) \(A = \{7, 13, 23, 28, 42, 56, 64, 75\}\), \(B = \{12, 23, 29, 37, 42, 51, 67, 75, 83\}\)
Ответ
a) \(A \cap B = \{a\}\).
b) \(A \cap B = \{6, 10\}\).
c) \(A \cap B = \{+\}\).
d) \(A \cap B = \{23, 42, 75\}\).
2. Пусть \(M\) – множество букв в слове APARTMENT, а \(N\) – множество букв в слове PROSPECTOR.
a) Перечислите элементы множеств \(M\) и \(N\).
b) Найдите \(M \cap N\).
c) Что означает множество \(M \cap N\)?
Ответ
a) \(M = \{A, P, R, T, M, E, N\}\).
\(N = \{P, R, O, S, E, C, T\}\).
b) \(M \cap N = \{P, R, T, E\}\).
c) Это множество букв, которые встречаются в обоих словах.
3. Пусть \(P\) – множество простых чисел меньше \(18\), а \(Q\) – множество нечётных чисел между \(0\) и \(18\).
a) Перечислите элементы множеств \(P\) и \(Q\).
b) Найдите \(P \cap Q\).
c) Найдите \(|P \cap Q|\).
Ответ
a) \(P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\}\).
\(Q = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17\}\).
b) \(P \cap Q = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\}\).
c) \(|P \cap Q| = 6\).
4. Пусть \(F\) – множество делителей числа \(60\), а \(G\) – множество делителей числа \(80\).
a) Найдите \(F \cap G\).
b) Что означает множество \(F \cap G\)?
Ответ
a) \(F \cap G = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\).
b) Это множество общих делителей чисел \(60\) и \(80\).
5. Найдите \(A \cup B\) для:
a) \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\)
b) \(A = \{a, c, d, f, m\}\), \(B = \{b, c, e, f, g\}\)
c) \(A = \{2, 4, 6, 8\}\), \(B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
d) \(A = \{*, \#, !, \times\}\), \(B = \{\#, \div, 5, \times, +\}\)
Ответ
a) \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).
b) \(A \cup B = \{a, b, c, d, e, f, g, m\}\).
c) \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
d) \(A \cup B = \{*, \#, !, \div, +, 5, \times\}\).
6. Пусть \(A\) – множество чётных чисел между \(1\) и \(20\), а \(B\) – множество кратных \(3\) между \(1\) и \(20\).
a) Перечислите элементы множеств \(A\) и \(B\).
b) Найдите \(A \cup B\).
c) Найдите \(|A \cup B|\).
Ответ
a) \(A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}\).
\(B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\).
b) \(A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}\).
c) \(|A \cup B| = 13\).
Дополнение множества
При работе с множествами нам бывает полезно использовать:
Универсальное множество \(U\) – это множество всех элементов, которые мы рассматриваем.
Например, если мы рассматриваем буквы английского алфавита, то универсальным множеством будет:
Дополнение множества \(A\) – это множество всех элементов \(U\), не принадлежащих \(A\).
Дополнение множества \(A\) обозначается \(\overline{A}\).
Например, если
\(U = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}\)\(\qquad\) и\(\qquad\) \(A = \{2,\ 3,\ 5,\ 7\}\),
тогда \(\qquad\) \(\overline{A} = \{1,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9\}\).
Если \(U\) – множество букв английского алфавита, \(G\) – множество гласных, а \(C\) – множество согласных, то \(G\) является дополнением к \(C\), а \(C\) является дополнением к \(G\).
Задача:
Пусть \(U = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
Найдите \(\overline{A}\), если \(A\) равно:
a) \(\{0,\ 2,\ 5,\ 6\}\)\(\qquad\)b) \(\{\text{делители числа } 6\}\)\(\qquad\)c) \(\{\text{числа меньше } 3\}\)
Решение:
a) \(A = \{0,\ 2,\ 5,\ 6\}\), следовательно \(\overline{A} = \{1,\ 3,\ 4\}\).
b) \(A = \{1,\ 2,\ 3,\ 6\}\), следовательно \(\overline{A} = \{0,\ 4,\ 5\}\).
c) \(A = \{0,\ 1,\ 2\}\), следовательно \(\overline{A} = \{3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
Можно сделать три простых вывода, касающихся дополнения множества:
-
\(A \cap \overline{A} = \varnothing\), так как у множеств \(A\) и \(\overline{A}\) нет общих элементов.
-
\(A \cup \overline{A} = U\), так как вместе элементы \(A\) и \(\overline{A}\) образуют всё универсальное множество \(U\).
-
\(|A| + |\overline{A}| = |U|\), если \(U\) конечно.
Задачи для тренировки
1. Пусть \(U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Найдите дополнение:
a) \(A = \{2,4,6\}\)
b) \(B = \{1,3,5,7,9\}\)
c) \(C = \{8,4,7,3\}\)
d) \(D = \{1,2,3,7,8,9\}\)
Ответ
a) \(\overline{A} = \{1,3,5,7,8,9\}\).
b) \(\overline{B} = \{2,4,6,8\}\).
c) \(\overline{C} = \{1,2,5,6,9\}\).
d) \(\overline{D} = \{4,5,6\}\).
2. Пусть \(U = \{0,1,2,\dots,20\}\), \(P\) – множество делителей числа \(12\), а \(Q\) – множество простых чисел между \(10\) и \(20\).
a) Перечислите элементы множеств \(P\) и \(Q\).
b) Найдите \(\overline{P}\) и \(\overline{Q}\) (дополнения в универсальном множестве \(U\)).
Ответ
a) \(P = \{1,2,3,4,6,12\}\).
\(Q = \{11,13,17,19\}\).
b) \(\overline{P} = \{0,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20\}\).
\(\overline{Q} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}\).
3. Рассмотрим буквы английского алфавита. Пусть \(X\) – множество букв в слове INHABITANT, а \(Y\) – множество букв в слове MILLION.
a) Перечислите элементы множеств \(X\) и \(Y\).
b) Найдите \(\overline{X}\) и \(\overline{Y}\) (дополнения в универсальном множестве всех букв английского алфавита).
Ответ
a) \(X = \{I, N, H, A, B, T\}\).
\(Y = \{M, I, L, O, N\}\).
b) \(\overline{X}\) – все буквы английского алфавита, кроме \(I, N, H, A, B, T\).
\(\overline{Y}\) – все буквы английского алфавита, кроме \(M, I, L, O, N\).
4. Пусть \(U = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), \(A\) – множество положительных чётных чисел меньше \(10\), а \(B\) – множество простых чисел меньше \(10\).
a) Перечислите элементы множеств \(U\), \(A\), \(\overline{A}\), \(B\), \(\overline{B}\).
b) Найдите \(|U|\), \(|A|\), \(|\overline{A}|\), \(|B|\), \(|\overline{B}|\).
c) Заполните пропуск: для любого множества \(A\) в универсальном множестве \(U\) верно \(|A| + |\overline{A}| = |\,\_\,\_\,\_\,|\).
Ответ
a) \(U = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\).
\(A = \{2,4,6,8\}\).
\(\overline{A} = \{0,1,3,5,7,9,10\}\).
\(B = \{2,3,5,7\}\).
\(\overline{B} = \{0,1,4,6,8,9,10\}\).
b) \(|U| = 11\), \(|A| = 4\), \(|\overline{A}| = 7\), \(|B| = 4\), \(|\overline{B}| = 7\).
c) \(|A| + |\overline{A}| = |U|\).
Конечные и бесконечные множества
Множество называют конечным, если число его элементов можно указать некоторым натуральным числом.
Если у множества бесконечно много элементов, его называют бесконечным.
-
\(\{1,2,3,4\}\) – конечное множество, \(|\{1,2,3,4\}| = 4\).
-
Множество всех целых чисел \(\mathbb{Z}\) – бесконечное.
-
Множество всех чётных натуральных чисел \(\{2,4,6,\dots\}\) – бесконечное.
Дополнительные задачи
Задачи для тренировки
1. Для каждого множества \(A\) перечислите его элементы и затем найдите \(|A|\):
a) \(A = \{\text{делители числа } 8\}\)
b) \(A = \{\text{составные числа меньше } 20\}\)
c) \(A = \{\text{буквы в слове AARDVARK}\}\)
d) \(A = \{\text{простые числа между } 40 \text{ и } 50\}\)
Ответ
a) \(A = \{1, 2, 4, 8\}\), \(|A| = 4\).
b) \(A = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18\}\), \(|A| = 10\).
c) \(A = \{A, R, D, V, K\}\), \(|A| = 5\).
d) \(A = \{41, 43, 47\}\), \(|A| = 3\).
2. Определите, является ли каждое множество конечным или бесконечным:
a) \(\{\text{делители числа } 10\}\)
b) \(\{\text{кратные } 10\}\)
c) \(\{\text{полные квадраты}\}\)
Ответ
a) Конечное.
b) Бесконечное.
c) Бесконечное.
3. Пусть \(S = \{1, 2, 4, 5, 9, 12\}\) и \(T = \{2, 5, 9\}\).
a) Найдите:
i) \(|S|\)
ii) \(|T|\)
b) Определите, верно или ложно каждое утверждение:
i) \(4 \in S\)
ii) \(4 \in T\)
iii) \(1 \notin T\)
iv) \(T \subseteq S\)
v) \(T \subset S\)
Ответ
a) i) \(|S| = 6\). \(\;\) ii) \(|T| = 3\).
b) i) верно. \(\;\) ii) ложно. \(\;\) iii) верно. \(\;\) iv) верно. \(\;\) v) верно.
4. Пусть \(S = \{1, 2\}\) и \(T = \{1, 2, 3\}\).
a) Перечислите все подмножества \(S\) и \(T\).
b) Верно ли, что любое подмножество \(S\) является подмножеством \(T\)?
c) Какая доля подмножеств \(T\) также является дополнениями \(S\)?
Ответ
a) Подмножества \(S = \{1, 2\}\):
\(\varnothing\), \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{1,2\}\).
Подмножества \(T = \{1, 2, 3\}\):
\(\varnothing\), \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\), \(\{1,2\}\), \(\{1,3\}\), \(\{2,3\}\), \(\{1,2,3\}\).
b) Да, потому что \(S \subseteq T\).
c) Таких подмножеств \(4\) из \(8\), то есть \(\tfrac{1}{2}\).
5. Найдите:
i) \(A \cap B\)\(\;\) ii) \(A \cup B\) для:
a) \(A = \{6, 7, 9, 11, 12\}\), \(B = \{5, 8, 10, 13, 9\}\)
b) \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{5, 6, 7, 8\}\)
c) \(A = \{1, 3, 5, 7\}\), \(B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
d) \(A = \{0, 3, 5, 8, 14\}\), \(B = \{1, 4, 5, 8, 11, 13\}\)
Ответ
a) \(A \cap B = \{9\}\), \(A \cup B = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\).
b) \(A \cap B = \varnothing\), \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).
c) \(A \cap B = \{1, 3, 5, 7\}\), \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
d) \(A \cap B = \{5, 8\}\), \(A \cup B = \{0, 1, 3, 4, 5, 8, 11, 13, 14\}\).
6. Укажите, являются ли множества непересекающимися:
a) \(A = \{3, 5, 7, 9\}\) и \(B = \{2, 4, 6, 8\}\)
b) \(P = \{3, 5, 6, 7, 8, 10\}\) и \(Q = \{4, 9, 10\}\)
Ответ
a) Да, так как \(A \cap B = \varnothing\).
b) Нет, так как \(10 \in P\) и \(10 \in Q\), значит \(P \cap Q \ne \varnothing\).
7. Определите, верно или ложно каждое утверждение. Поясните.
a) Если \(R\) и \(S\) – два непустых множества и \(R \cap S = \varnothing\), то \(R\) и \(S\) непересекающиеся.
b) Для любых множеств \(A\) и \(B\) верно \(|A \cap B| \le |A|\) и \(|A \cap B| \le |B|\).
c) Если \(A \cap B = A \cup B\), то \(A = B\).
d) Если \(A\) и \(B\) – бесконечные множества, то \(A \cap B\) тоже бесконечно.
Ответ
a) Верно: это определение непересекающихся множеств.
b) Верно: \(A \cap B\) – подмножество и \(A\), и \(B\).
c) Верно: из равенства следует \(A \subseteq B\) и \(B \subseteq A\), значит \(A = B\).
d) Ложно: например, \(A\) – множество чётных целых, \(B\) – множество нечётных целых, тогда \(A \cap B = \varnothing\).
8. Пусть \(A\) и \(B\) – непересекающиеся множества, и \(B\) и \(C\) – непересекающиеся множества. Обязательно ли \(A\) и \(C\) непересекающиеся? Поясните.
Ответ
Не обязательно. Например, \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\), \(C = \{1\}\). Тогда \(A \cap B = \varnothing\) и \(B \cap C = \varnothing\), но \(A \cap C = \{1\}\).
9. Пусть \(|A| = 8\) и \(|B| = 11\). Найдите возможные значения:
a) \(|A \cap B|\)
b) \(|A \cup B|\)
Ответ
a) \(|A \cap B|\) может быть любым целым числом от \(0\) до \(8\).
b) \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\), значит возможные значения от \(11\) до \(19\) (включительно).
10. Докажите, что \(|A \cup B| \le |A| + |B|\).
Ответ
\(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\). Поскольку \(|A \cap B| \ge 0\), получаем \(|A \cup B| \le |A| + |B|\).
11. Пусть \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Найдите \(\overline{A}\), если \(A = \{2, 3, 6, 7, 8\}\).
Ответ
\(\overline{A} = \{1, 4, 5, 9\}\).
12. Если \(P\) – множество простых чисел, будет ли \(\overline{P}\) множеством составных чисел? Поясните.
Ответ
Это зависит от универсального множества \(U\). Например, если \(U\) – натуральные числа \(\{1,2,3,\dots\}\), то \(\overline{P}\) включает не только составные, но и число \(1\). Поэтому \(\overline{P}\) не совпадает с множеством составных.
13. Пусть \(U = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}\), \(A\) – множество делителей числа \(120\) из \(U\), а \(B\) – множество кратных \(3\) из \(U\). Перечислите элементы множеств:
a) \(A\)
b) \(B\)
c) \(\overline{A}\)
d) \(\overline{B}\)
e) \(A \cap B\)
f) \(A \cup B\)
g) \(\overline{A} \cap B\)
h) \(\overline{A} \cup B\)
i) \(A \cap \overline{B}\)
j) \(A \cup \overline{B}\)
k) \(\overline{A} \cap \overline{B}\)
l) \(\overline{A} \cup \overline{B}\)
Ответ
\(A = \{10, 12, 15, 20\}\).
\(B = \{12, 15, 18\}\).
\(\overline{A} = \{11, 13, 14, 16, 17, 18, 19\}\).
\(\overline{B} = \{10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20\}\).
\(A \cap B = \{12, 15\}\).
\(A \cup B = \{10, 12, 15, 18, 20\}\).
\(\overline{A} \cap B = \{18\}\).
\(\overline{A} \cup B = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\).
\(A \cap \overline{B} = \{10, 20\}\).
\(A \cup \overline{B} = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20\}\).
\(\overline{A} \cap \overline{B} = \{11, 13, 14, 16, 17, 19\}\).
\(\overline{A} \cup \overline{B} = \{10, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20\}\).
14. Пусть \(U = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), \(A = \{3, 5, 7\}\), \(B = \{2, 4, 7, 8\}\). Найдите:
i) \(|U|\)\(\;\) ii) \(|A|\)\(\;\) iii) \(|\overline{A}|\)\(\;\) iv) \(|B|\)\(\;\) v) \(|\overline{B}|\)
Ответ
\(|U| = 7\), \(|A| = 3\), \(|\overline{A}| = 4\), \(|B| = 4\), \(|\overline{B}| = 3\).
15. Заполните пропуск: для любого множества \(S\) в универсальном множестве \(U\) верно
\(|S| + |\overline{S}| = \dots\).
Ответ
\(|S| + |\overline{S}| = |U|\).
16. Пусть \(|U| = 15\), \(|P| = 6\), \(|\overline{Q}| = 4\). Найдите:
a) \(|\overline{P}|\)
b) \(|Q|\)
Ответ
a) \(|\overline{P}| = |U| - |P| = 9\).
b) \(|Q| = |U| - |\overline{Q}| = 11\).
17. Если \(P \subseteq Q\), докажите, что \(\overline{Q} \subseteq \overline{P}\).
Ответ
Возьмём любой элемент \(x \in \overline{Q}\). Тогда \(x \notin Q\). Из \(P \subseteq Q\) следует: если бы \(x \in P\), то \(x \in Q\) – противоречие. Значит \(x \notin P\), то есть \(x \in \overline{P}\). Следовательно, \(\overline{Q} \subseteq \overline{P}\).
18. Пусть \(U\) и \(P\) – бесконечные множества. Приведите примеры, когда \(\overline{P}\) может быть конечным и когда \(\overline{P}\) может быть бесконечным.
Ответ
Пример, когда \(\overline{P}\) конечно: пусть \(U = \mathbb{Z}\), а \(P = \mathbb{Z} \setminus \{0,1\}\). Тогда \(\overline{P} = \{0,1\}\) – конечное.
Пример, когда \(\overline{P}\) бесконечно: пусть \(U = \mathbb{Z}\), а \(P\) – множество чётных целых. Тогда \(\overline{P}\) – множество нечётных целых, оно бесконечно.